Question

15．已知a＞1，b＞1，c＞1，且ab=10，求证：log_ac+log_bc≥4lgc．

Answer 1

分析 先用换底公式转化为常用对数，通分，化简得lga+lgb=1，再两边平方，用基本不等式得证．

解答 证明：因为ab=10，两边同时取对数，得lgab=lg10=1
lga+lgb=1两边平方，得1=lg²a+2lgalgb+lg²b，
∴1≥4lgalgb，即$\frac{1}{lgalgb}$≥4，
∴log_ac+log_bc=$\frac{lgc}{lga}$+$\frac{lgc}{lgb}$=$\frac{lgc（lga+lgb）}{lgalgb}$=$\frac{lgc}{lgalgb}$≥4lgc
得证．

点评 本题主要考查对数运算法则及换底公式和基本不等式的应用，属于中档题．