题目内容
【题目】已知长方形
中，
，
，现将长方形沿对角线折起，使
，得到一个四面体
，如图所示，
（1）试问：在折叠的过程中，异面直线
与
能否垂直？若能垂直，求出相应
的值；若不垂直请说明理由；
（2）当四面体体积最大时，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）垂直，
；（2）
；
【解析】
（1）利用线线垂直、线面垂直相互转化，结合勾股定理证得当时，异面直线
与
垂直.
（2）当四面体
体积最大时，平面
平面
.建立空间直角坐标系，利用平面
和平面的法向量，计算出二面角
的余弦值.
（1）若
，由
,
，得
平面，所以
，所以
，即
，解得.故当时，异面直线与垂直.
（2）当当四面体体积最大时，平面平面.过
作
交
于
，根据面面垂直的性质定理可知
平面.以为空间坐标原点，过作的垂线为
轴，
为
轴，
为轴，建立空间直角坐标系，则
,
.平面的法向量为
.设平面的法向量为
，
，则
，取
.设二面角的平面角为
，由图可知为锐角，所以
.
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