题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设,若对任意
,均存在
,使得
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,对
通分,求函数的定义域,讨论
的两个根
和2的大小关系,分
、
、
、
四种情况进行讨论,利用
,
求函数的单调区间;第二问,先将已知转化为在
上有
,由已知,
,下面关键是求
,令
即可求出a的取值范围.
试题解析: .
(1).
①当时,
,
,在区间(0,2)上,
在区间
上
,故
的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是
.
②当时,
,在区间(0,2)和
上,
;在区间
上
,故
的单调递增区间是(0,2)和
,单调递减区间是
.
③当时,
,故
的单调递增区间是
.
④当时,
,在区间
和
上,
;在区间
上,
,
故的单调递增区间是
和
,单调递减区间是
.
(2)由已知,在上有
.
由已知, ,由(2)可知,
①当时,
在
上单调递增,
故,
所以, ,解得
,
故.
②当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
故.
由可知
,
,
,
所以, ,
,
综上所述, .
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