Question

【题目】已知函数f（x）=x （m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=loga（f（x）﹣ax+2）在区间（1，+∞）上恒为正值，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由条件幂函数f（x）= 在（0，+∞）上为增函数，

得到﹣2m2+m+3＞0，

解得：﹣1＜m＜

又因为m∈Z，所以m=0或1；

又因为是偶函数

当m=0时，f（x）=x3，f（x）为奇函数，不满足；

当m=1时，f（x）=x2，f（x） 为偶函数，满足；

所以f（x）=x2

（2）解：由题意a＞1，且x2﹣ax+2＞1在区间（1，+∞）上恒成立．

即h（x）=x2﹣ax+2= +2﹣ ＞1恒成立，其中x∈（1，+∞）

当1＜a≤2时， ≤1，所以h（x）在区间（1，+∞）单调递增，

所以，h（x）＞3﹣a，∴3﹣a＞1即1＜a≤2适合题意．

当a＞2时 ＞1，g（x）=x2﹣ax+2= +2﹣ ≥2﹣ ，

∴2﹣ ＞1，∴a2＜4与a＞2矛盾，不合题意．

综上可知：1＜a≤2

【解析】（1）根据幂函数的定义以及函数的奇偶性求出f（x）的解析式即可；（2）问题转化为a＞1，且x2﹣ax+2＞1在区间（1，+∞）上恒成立，即h（x）=x2﹣ax+2= +2﹣ ＞1恒成立，其中x∈（1，+∞），通过讨论a，结合函数的单调性求出a的具体范围即可．