题目内容
【题目】已知函数f(x)=x (m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上为增函数.
(1)求m的值,并确定f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=loga(f(x)﹣ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:由条件幂函数f(x)= 在(0,+∞)上为增函数,
得到﹣2m2+m+3>0,
解得:﹣1<m<
又因为m∈Z,所以m=0或1;
又因为是偶函数
当m=0时,f(x)=x3,f(x)为奇函数,不满足;
当m=1时,f(x)=x2,f(x) 为偶函数,满足;
所以f(x)=x2
(2)解:由题意a>1,且x2﹣ax+2>1在区间(1,+∞)上恒成立.
即h(x)=x2﹣ax+2= +2﹣
>1恒成立,其中x∈(1,+∞)
当1<a≤2时, ≤1,所以h(x)在区间(1,+∞)单调递增,
所以,h(x)>3﹣a,∴3﹣a>1即1<a≤2适合题意.
当a>2时 >1,g(x)=x2﹣ax+2=
+2﹣
≥2﹣
,
∴2﹣ >1,∴a2<4与a>2矛盾,不合题意.
综上可知:1<a≤2
【解析】(1)根据幂函数的定义以及函数的奇偶性求出f(x)的解析式即可;(2)问题转化为a>1,且x2﹣ax+2>1在区间(1,+∞)上恒成立,即h(x)=x2﹣ax+2= +2﹣
>1恒成立,其中x∈(1,+∞),通过讨论a,结合函数的单调性求出a的具体范围即可.
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