题目内容
【题目】已知从有限个平面向量构成的集合中任取三个元素,其中总存在两个元素
,使得
.试求
中元素个数的最大值.
【答案】7
【解析】
所求中元素个数的最大值为7.
设点、
、
是平面上任意三点,考虑7元集合
,它显然满足条件.下面证明:
中的元素不能多于7个.
当中的元素全部共线时,将所有元素的起点移至同一点,作一条与所有元素平行的直线
并作出
中所有元素在直线
上的投影,于是,
中的所有向量均对应以
中元素的共同起点在
上的投影为原点,直线
的任意取定一个方向为正方向的数轴上的坐标.从而,问题可转化为求与原题对应的数集问题(由二维转化为一维).
接下来证明:该数集中至多有7个元素.
首先证明:该数集中最多有3个正数.假设可能有不少于4个的元素是正数,其中,最大的4个数分别为、
、
、
,且
.
事实上,,所以,和数
.而大于
的元素只有
一个,却有
,于是,在集合
或
中,至少有一个集合的任意两个元素之和不在
中.这与已知矛盾,故该数集中最多有3个正数.同理,该数集中最多有3个负数.加上一个0,从而,数集
中至多有7个元素.
当中的元素不全共线时,将所有元素的起点移至同一点
,由
的有限性知可作出平面直角坐标系
,使得
中的元素均不与坐标轴平行.
下面证明:上半平面内至多有3个元素.
首先证明:上半平面的所有元素全不共线.假设上半平面内存在中的元素
与
共线,则可取与
和
夹角最小的元素
.考虑集合
,由
的取法,知
和
均不在
中(两向量的和向量在这两个向量之间).于是,
中存在
,使得
,从而,
与
、
共线.考虑集合
,类似上面的讨论,知
中存在
与
、
共线.如此讨论下去,知
中存在无穷多个元素与
、
共线,矛盾.故上半平面的所有元素全不共线.
其次证明:上半平面内至多有3个元素.假设在上半平面内有不少于4个元素,按逆时针方向顺次取其中4个相邻元素、
、
、
.考虑集合
,则有
;考虑集合
,则有
.从而,
,即
.这与
、
同在上半平面内矛盾,故上半平面内至多有3个元素.同理,下半平面内至多有3个元素.加上零向量,从而,集合
中至多有7个元素.
综上所述,集合中元素个数的最大值为7.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】中国人旅游有个特点:喜欢在旅游区购买当地的名优土特产,黄冈市有很多名优土特产,黄冈市的蕲春县就有闻名于世的“蕲春四宝”蕲竹、蕲艾、蕲蛇、蕲龟
,由于医圣李时珍出生在蕲春县,很多人慕名而来,回家时顺带买点“蕲春四宝”,通过随机询问60名不同性别的游客在购买“蕲春四宝”时是否在来蕲春县之前就知道“蕲春四宝”,得到如下列联表:
男 | 女 | 总计 | |
事先知道“蕲春四宝” | 8 | n | q |
事先不知道“蕲春四宝” | m | 4 | 36 |
总计 | 40 | p | t |
附:
写出列联表中各字母代表的数字;
由以上列联表判断,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为购买“蕲春四宝”和是否“事先知道
蕲春四宝
有关系”?
现从这60名游客中用分层抽样的方法抽取15名游客进行问卷调查,再从抽取的女游客中,随机选出2人给予小礼品,求有2名女游客是事先知道“蕲春四宝”的概率?