Question

【题目】对于函数f（x），若f（x0）＝x0，则称x0为f（x）的不动点.设f（x）＝x3+ax2+bx+3.

（1）当a＝0时，

（i）求f（x）的极值点；

（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，也是f（x）的不动点，求b的值；

（2）是否存在a，b，使得f（x）有两个极值点，且这两个极值点均为f（x）的不动点？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（i）是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点（ⅱ）b＝﹣3（2）不存在满足题设的a，b；详见解析

【解析】

（1）（i）求出导数，由的根确定函数的单调性，从而确定极值点．

（ⅱ）由和结合可解得；

（2）假设存在满足题意，由函数的单调性和不动点定义可得矛盾，说明假设错误．

（1）当a＝0时，f（x）＝x3+bx+3，f′（x）＝3x2+b，

（i）①当b≥0，f（x）在R单调递增，无极值点，

②当b＜0时，由f′（x）＝0，得或，

当，f′（x）＞0，故f（x）在，单调递增，

当时，f′（x）＜0，

在单调递减，

所以，是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点.

（ⅱ）设x＝x0是f（x）的极值点，则由（i）可知，

又x＝x0是f（x）的不动点，则，

所以b＝﹣3，

（2）不存在满足题设的a，b，

证明如下：

假设存在满足题设的a，b，设x1，x2为f（x）的两个极值点，且为f（x）的不动点，并不妨设x1＜x2，

由于f′（x）＝3x2+2ax+b，

所以x1，x2为方程3x2+2ax+b＝0的两个根，

当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，可知f（x）在（x1，x2）上单调递减，故f（x1）＞f（x2），

又x1，x2为f（x）的不动点，所以f（x1）＝x1＜x2＝f（x2），

即f（x1）＜f（x2），矛盾，

所以不存在满足题设的a，b.