题目内容
已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)当时,判断和的大小,并说明理由;
(3)求证:当时,关于的方程:在区间上总有两个不同的解.
(1)的单调递增区间为,,单调递减区间为
(2)当时,.
(3)构造函数,然后借助于在区间、分别存在零点,又由二次函数的单调性可知最多在两个零点,进而得到结论。
解析试题分析:(1)
当时可解得,或
当时可解得
所以函数的单调递增区间为,,
单调递减区间为 3分
(2)当时,因为在单调递增,所以
当时,因为在单减,在单增,所能取得的最小值为,,,,所以当时,.
综上可知:当时,. 7分
(3)即
考虑函数,
,,
所以在区间、分别存在零点,又由二次函数的单调性可知:最多存在两个零点,所以关于的方程:在区间上总有两个不同的解 10分
考点:导数的运用
点评:考查了导数在研究函数中的运用,以及利用函数与方程的思想的综合运用,属于难度题。
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