题目内容
设曲线在点处的切线斜率为,且,对一切实数,不等式恒成立.
(1) 求的值;
(2) 求函数的表达式;
(3) 求证:.
(1)k(1)=1(2)k(x)=x2+x+=(x+1)2;
(3)第二问的基础上,利用均值不等式放缩来得到证明。
解析试题分析:解:(1)根据题意,对一切实数x,不等式恒成立,则当x=1时,有1≤k(1)≤ =1,即1≤k(1)≤1,则k(1)=1
(2)对曲线方程求导可得k(x)=ax2+bx+c, k(-1)=0,则a-b+c=0------①由(1)得,k(1)=1,则a+b+c=1------②由①②得a+c= ,b=;则k(x)=ax2+x+c,又由x≤k(x)≤ (x2+1)恒成立可得, ax2-x+c≥0且(2a-1)x2+1x+(2c-1)≤0恒成立,由ax2+x+c≥0恒成立可得a>0,≤4ac,由(2a-1)x2+1x+(2c-1)≤0恒成立可得(2a-1)<0,1≤4(2a-1)(2c-1)得0<a<,且≤ac≤
ac=,且a+c=,则a=c=,则k(x)=x2+x+=(x+1)2;
证明:(3)由(2)可得k(x)=(x+1)2,则>=2(),即);则即不等式可证.
考点:函数的恒成立、曲线的切线方程
点评:本题综合考查函数的恒成立问题、曲线的切线方程以及放缩法证明不等式,难度较大;解(Ⅱ)题时要注意二次函数大于等于0恒成立的条件.
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