Question

14．如图，正方体ABCD=A₁B₁C₁D₁，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF=x．
（1）当三棱椎B₁-BEF的体积最大时，求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）求异面直线A₁E与B₁F所成的角的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得${V}_{{B}_{1}-BEF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a-x）×x×a$=$\frac{a}{6}（a-x）x$≤$\frac{a}{6}（\frac{a-x+x}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{3}}{24}$，从而当x=$\frac{a}{2}$时，三棱锥B₁-BEF的体积最大．取EF中点O，则∠B₁OB是二面角B₁-EF-B的平面角，由此能求出当三棱椎B₁-BEF的体积最大时，二面角B₁-EF-B的正切值．
（2）在AD上取点H，使AH=BF=AE，则HF∥CD∥A₁B₁，A₁H∥B₁F，从而∠HA₁E（或补角）是异面直线A₁E与B₁F所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线A₁E与B₁F所成的角的取值范围．

解答 解：（1）∵正方体ABCD=A₁B₁C₁D₁，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF=x，
∴${V}_{{B}_{1}-BEF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a-x）×x×a$=$\frac{a}{6}（a-x）x$≤$\frac{a}{6}（\frac{a-x+x}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{3}}{24}$，
∴当a-x=x，即x=$\frac{a}{2}$时，三棱锥B₁-BEF的体积最大．
取EF中点O，∵BO⊥EF，B₁O⊥EF，∴∠B₁OB是二面角B₁-EF-B的平面角．
在Rt△BEF中，BO=$\frac{1}{2}EF$=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，
∴tan∠B₁OB=$\frac{B{B}_{1}}{BO}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{4}a}$=2$\sqrt{2}$．
∴当三棱椎B₁-BEF的体积最大时，二面角B₁-EF-B的正切值为$2\sqrt{2}$．
（2）在AD上取点H，使AH=BF=AE，则HF∥CD∥A₁B₁，
∵HF=CD=A₁B₁，A₁H∥B₁F，∴∠HA₁E（或补角）是异面直线A₁E与B₁F所成的角，
在Rt△A₁AH中，${A}_{1}H=\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$，在Rt△A₁AE中，${A}_{1}E=\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$，
在Rt△HAE中，HE=$\sqrt{{x}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2}x$，
在△HA₁E中，cos∠HA₁E=$\frac{{A}_{1}{H}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}-E{H}^{2}}{2•{A}_{1}H•{A}_{1}E}$=$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+{x}^{2}}$，
∵0＜x≤a，∴a²＜x²+a²≤2a²，$\frac{1}{2}≤\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}+{a}^{2}}＜1$，
∴$\frac{1}{2}≤cos∠H{A}_{1}E＜1$，
∴异面直线A₁E与B₁F所成的角的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查三棱椎的体积最大时，二面角的正切值的求法，考查异面直线所成的角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用和空间思维能力的培养．