题目内容
3．
如图，圆O内切于△ABC的边于点D，E，F，AB=AC，连结AD交圆O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．（1）证明：圆心O在直线AD上；
（2）若BC=6，求GC的长．
分析 （1）由已知条件得CF=BE，CD=BD，由△ABC是等腰三角形，得AD是∠CAB的平分线，由此能证明圆心O在直线AD上．
（2）连接DF，由已知条件得∠FDH+∠FHD=90°，∠G=∠FDH，由此能求出GC的长．
解答 
（1）证明：∵AB=AC，AF=AE
∴CF=BE…（2分）
又CF=CD，BD=BE，∴CD=BD…（4分）
又△ABC是等腰三角形
∴AD是∠CAB的平分线
∴圆心O在直线AD上…（6分）
（2）解：连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径
∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°…（7分）
又∠G+∠FHD=90°，∴∠G=∠FDH…（8分）
∵⊙O与AC相切于点F，∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G…（10分）
∴CG=CF=CD=DB
由BC=6，得GC=2．…（12分）
点评 本题考查圆心在直线上的证明，考查线线段长的求法，正确运用圆的简单性质是关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，正方体ABCD=A1B1C1D1，棱长为a，E、F分别为AB、BC上的点，且AE=BF=x．
11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[$\sqrt{2}$，2]，则其渐近线的倾斜角的取值范围是（ ）
| A． | [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$] | B． | [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$] | C． | [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{4π}{3}$，$\frac{5π}{6}$] | D． | [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{5}$] |
如图，这是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为$\widehat{{A}_{1}{B}_{1}}$上的动点．