Question

3．已知△ABC的三个顶点都在抛物线y²=2px（p＞0）上，且O为抛物线的顶点，抛物线的焦点F满足$\overrightarrow{\begin{array}{l}{FA}\end{array}}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$，若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny-m=0（m，n为常数且m≠0），记△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S₁、S₂、S₃，则S₁²+S₂²+S₃²的值为3．

Answer 1

分析 通过设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），取BC边上的中点M，利用$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$可知$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{AM}$即点F在直线l上，进而可得抛物线的焦点为F（1，0）、抛物线方程为y²=4x，通过$\overrightarrow{\begin{array}{l}{FA}\end{array}}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$可知x₁+x₂+x₃=3，利用S₁²+S₂²+S₃²=$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{1}|）^{2}$+$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{2}|）^{2}$+$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{3}|）^{2}$计算即得结论．

解答 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃），
∵$\overrightarrow{\begin{array}{l}{FA}\end{array}}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$+$\overrightarrow{FC}$，
取BC边上的中点M，则$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{AM}$，
∴点F在直线l上，
在mx+ny-m=0中令y=0得x=1，
∴抛物线的焦点为F（1，0），
∴抛物线方程为：y²=4x，
∵$\overrightarrow{\begin{array}{l}{FA}\end{array}}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow 0$，
∴x₁+x₂+x₃=3且${{y}_{i}}^{2}$=4x_i（i=1、2、3、4），
∴S₁²+S₂²+S₃²=$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{1}|）^{2}$+$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{2}|）^{2}$+$（\frac{1}{2}•|OF|•|{y}_{3}|）^{2}$
=$\frac{1}{4}$（${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}$）
=$\frac{1}{4}$•4（x₁+x₂+x₃）
=3，
故答案为：3．

点评 本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．