题目内容
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角D-BC1-C的大小.分析 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D-BC1-C的大小.
解答 解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),
$\overrightarrow{DB}$=(1,1,0),$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=(0,1,1),
设平面DBC1的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,1),
又平面BCC1的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,1,0),
设二面角D-BC1-C的平面角为θ,
cosθ=|cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$θ=arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴二面角D-BC1-C的大小为$arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}π$ | B. | $\frac{16}{3}π$ | C. | $\frac{26}{3}π$ | D. | $\frac{{32\sqrt{3}}}{27}π$ |
A. | F=G | B. | F⊆G | C. | G⊆F | D. | F∪G=G |
A. | ($\frac{1}{3}$)67 | B. | ($\frac{1}{3}$)68 | C. | ($\frac{1}{3}$)101 | D. | ($\frac{1}{3}$)102 |
A. | $\frac{8}{3}π$ | B. | 8π | C. | $\frac{32}{3}π$ | D. | $\frac{16}{3}π$ |