Question

6．已知数列{a_n} 满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+1+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n∈N⁺）
（Ⅰ）求证：数列{a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=a_n+1+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n∈N⁺），变形为${a}_{n+1}+\frac{1}{{2}^{n+1}}$-（a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=1，即可证明；
（Ⅱ）由（1）可得：${a}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，即a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$+n，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由a_n+1=a_n+1+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n∈N⁺），
可得：${a}_{n+1}+\frac{1}{{2}^{n+1}}$-（a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=1，
∴数列{a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$}成等差数列，首项与公差都为1．
（Ⅱ）解：由（1）可得：${a}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$+n，
∴数列{a_n}的前n项的和S_n=-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．