题目内容
5．已知函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），图象关于原点对称，且当x＜0时，xf′（x）＜2f（x）恒成立，则f（1）、-$\frac{f（-4）}{16}$、$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$的大小关系是（ ）| A． | $\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$＜-$\frac{f（-4）}{16}$＜f（1） | B． | f（1）＜-$\frac{f（-4）}{16}$＜$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$ | ||
| C． | -$\frac{f（-4）}{16}$＜$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$＜f（1） | D． | $\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$＜f（1）＜-$\frac{f（-4）}{16}$ |
分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的奇偶性即可比较大小．
解答 解：函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），图象关于原点对称，
∴函数f（x）为奇函数，
∴-$\frac{f（-4）}{16}$=$\frac{f（4）}{16}$，
设g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{2}-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵当x＜0时，xf′（x）＜2f（x）恒成立，
∴当x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上为增函数，
∵g（x）为奇函数，
∴g（x）在（0，+∞）为增函数，
∵1＜4＜$\sqrt{231}$，
∴g（1）＜g（4）＜g（$\sqrt{231}$），
∴f（1）＜$\frac{f（4）}{16}$＜$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$，
∴f（1）＜-$\frac{f（-4）}{16}$＜$\frac{f（\sqrt{231}）}{231}$，
故选：B．
点评 本题考查本题考查了函数的单调性与导函数之间的关系，函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答．
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