Question

15．设函数f（x）在R上是偶函数，在（-∞，0）上递增，且有f（2a²+a+1）＜f（-3a²+2a-1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 方法一：先研究函数在[0，+∞）的单调性，再比较2a²+a+1与3a²-2a+1的大小，取值范围看两者是不是在同一个单调区间上，本题比较发现两者在同一个单调区间上，利用单调性直接比较．
方法二：比较两数2a²+a+1与3a²-2a+1的大小，看到两者不在已知单调性的区间上，故利用偶函数的性质把其转化到对称的区间上来比较大小，进而再得到两者的函数值的大小．

解答 解：∵f（x）在R上是偶函数，
∴f（-3a²+2a-1）=f（3a²-2a+1），
即不等式f（2a²+a+1）＜f（-3a²+2a-1），等价为f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），
∵$2{a^2}+a+1=2{（a+\frac{1}{4}）^2}+\frac{7}{8}≥\frac{7}{8}$
$3{a^2}-2a+1=3{（a-\frac{1}{3}）^2}+\frac{2}{3}≥\frac{2}{3}（4分）$
f（x）定义在R上的偶函数，在区间（-∞，0]上递增，
因此函数f（x）在[0，+∞）上递减（6分），
又f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）
2a²+a+1＞3a²-2a+1，（10分）
∴a²-3a＜0，
∴0＜a＜3．（12分）
法2：$2{a^2}+a+1=2{（a+\frac{1}{4}）^2}+\frac{7}{8}≥\frac{7}{8}$
$3{a^2}-2a+1=3{（a-\frac{1}{3}）^2}+\frac{2}{3}≥\frac{2}{3}（4分）$
又f（x）定义在R上的偶函数，且
f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）
∴f（-2a²-a-1）＜f（-3a²+2a-1）（6分）
又f（x）在区间（-∞，0]上递增
∴-2a²-a-1＜-3a²+2a-1（10分）
∴a²-3a＜0∴0＜a＜3．（12分）

点评 本题主要考查利用单调性比较函数值的大小，本题中两个数是抽象的数，需要用配方法来确定它们的取值范围，这给作题增加一定的难度，两个方法在利用偶函数的性质上采取的技巧不同．