Question

【题目】设函数f（x）=lnx﹣ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当0＜a＜ 时，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）当a=﹣1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）= ﹣a= ．

因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．

经检验，a=1符合题意．

（2）解：f′（x）= ﹣a= ，x＞0．

令f′（x）=0得x= ．

因为0＜a＜ ，1≤x≤2，∴0＜ax＜1，∴1﹣ax＞0，∴f′（x）＞0，

∴函数f（x）在[1，2]上是增函数，

∴当x=2时，f（x）max=f（2）=ln2﹣2a．

（3）解：因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，

所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，

设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，

则g′（x）= ，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．

因为m＞0，x＞0，所以x1= ＜0（舍去），x2= ，

当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，

当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增，

当x=x2时，g（x）取最小值g（x2）．

则 即

所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*），

设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．

因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即 =1，

解得m= ．

【解析】（1）先求出函数f（x）的定义域和导数，再利用已知条件建立含有a的方程，解方程，可得a的值；（2）先求出函数f（x）的导数，再判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，进而可得函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（3）先构造函数，再利用导数可得函数的单调性，进而可得函数的最小值，从而建立含有m的方程，解方程，可得实数m的值．