Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差数列，则过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作（ ）
A.3条
B.2条
C.1条
D.0条

Answer 1

【答案】B
【解析】解：至少存在两个实数m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差数列， 可得f（﹣m）+f（2+m）=2f（1）=2（a+4），
即有f（x）的图象关于点（1，a+4）对称，
由f（x）的导数为f′（x）=3ax2+6x，
f″（x）=6ax+6，由 f″（x）=0，可得x=﹣ ，
由f（﹣ +x）+f（﹣ ﹣x）为常数，
可得﹣ =1，解得a=﹣1，
即有f（x）=﹣x3+3x2+1，f′（x）=﹣3x2+6x，
设切点为（t，﹣t3+3t2+1），
可得切线的斜率为﹣3t2+6t= ，
化为2t3﹣3t2+1=0，
设g（t）=2t3﹣3t2+1，g′（t）=6t2﹣6t，
当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减；当t＞1或t＜0时，g′（t）＞0，g（t）递增．
可得g（t）在t=0处取得极大值，且为1＞0；在t=1处取得极小值，且为0．
可知2t3﹣3t2+1=0有两解，
即过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作2条．
故选：B．