题目内容

已知函数f(x)=
3
sinωx+cosωx

(1)当函数f(x)的图象经过点M(
3
,2)
,且0<ω<1时,求ω的值;
(2)当若ω=2时,求函数f(x)在区间[0,
π
2
]
上的最大值与最小值.
分析:(1)根据正弦函数两角和公式化简f(x),使f(x)=2sin(ωx+
π
6
),把点m代入f(x)求出ω的值
(2)依据ω=2,可得f(x)的解析式.然后根据正弦函数的单调性求出函数f(x)的最大和最小值.
解答:解:(1)f(x)=
3
sinωx+cosωx=2(
3
2
sinωx+
1
2
cosωx)=2sin(ωx+
π
6

∵函数f(x)的图象经过点M(
3
,2)

∴f(
3
)=2sin(
3
ω+
π
6
)=2
∴sin(
3
ω+
π
6
)=1
3
ω+
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈Z
∴ω=3k+
1
2

∵0<ω<1
∴ω=
1
2

(2)ω=2时,f(x)=2sin(2x+
π
6

∵x∈[0,
π
2
]

∴2x+
π
6
∈[
π
6
6
]
∴当2x+
π
6
=
π
2
时,即x=
π
6
时,[f(x)]max=2
当2x+
π
6
=
6
时,即x=
π
2
时,[f(x)]min=-1
点评:本题主要考查三角函数两角和公式和正弦函数的性质.属基础题.
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