Question

【题目】如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）设的长为，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，，从而求得点的坐标为，求得，利用平面列方程即可求得，问题得解。

（Ⅱ）求出平面的法向量为，结合（Ⅰ）中是平面的一个法向量，利用法向量的夹角坐标表示即可求解。

解：（Ⅰ）方法一：设的长为，依题意可知，，两两垂直，分别以，，的方向为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示.

则，，，，，，

因此，，.设，易求得点的坐标为，所以.

因为平面，所以.

解之得，所以的长为.

方法二：如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接.

依题意易得，五点共面.

因为平面，所以.①

在中，，，因此为线段靠近的三等分点.

由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，.

代入①，得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）方法一可知，是平面的一个法向量且，.

设平面的法向量为，则可以为.

.

因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.