题目内容
【题目】如图,四楼锥中,平面
平面
,底面
为梯形.
,且
与
均为正三角形.
为
的中点
为
重心,
与
相交于点
.
(1)求证: 平面
;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)第(1)问,连交
于
,连接
.证明
//
,即证
平面
. (2)第(2)问,主要是利用体积变换,
,求得三棱锥
的体积.
试题解析:
(1)方法一:连交
于
,连接
.
由梯形,
且
,知
又为
的中点,
为
的重心,∴
在中,
,故
//
.
又平面
,
平面
,∴
平面
.
方法二:过作
交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,
G为△PAD的重心,
又ABCD为梯形,AB||CD,
又由所作GN||AD,FM||AD,得//
,所以GNMF为平行四边形.
因为GF||MN,
(2) 方法一:由平面平面
,
与
均为正三角形,
为
的中点
∴,
,得
平面
,且
由(1)知//平面
,∴
又由梯形ABCD,AB||CD,且,知
又为正三角形,得
,∴
,
得
∴三棱锥的体积为
.
方法二: 由平面平面
,
与
均为正三角形,
为
的中点
∴,
,得
平面
,且
由,∴
而又为正三角形,得
,得
.
∴,
∴三棱锥的体积为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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