Question

15．如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形．
（1）求证：AB∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过证明EH∥平面ABD，得出EH∥AB，从而证明AB∥平面EFGH；
（2）设EH=x，EF=y，由EH∥AB，EF∥CD，求出x、y的关系式，再求四边形EFGH的周长l的取值范围即可．

解答 解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH∥FG；
∵EH?平面ABD，FG?平面ABD，
∴EH∥平面ABD；
又∵EH?平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，
∴EH∥AB；
又∵EH?平面EFGH，AB?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH；
（2）设EH=x，EF=y，
∵EH∥AB，EF∥CD，
∴$\frac{EH}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，$\frac{EF}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{EH}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=$\frac{CE}{CA}$+$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AC}$=1；
又∵AB=4，CD=6，∴$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{6}$=1，
∴y=6（1-$\frac{x}{4}$），且0＜x＜4；
∴四边形EFGH的周长为
l=2（x+y）=2[x+6（1-$\frac{x}{4}$）]
=12-x，
∴8＜12-x＜12；
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）．

点评 本题考查了空间中线面平行的判断与性质的应用问题，也考查了平行线截得线段成比例的应用问题，
是综合性题目．