Question

14．已知两点M（-2，0），N（2，0），点P为坐标平面内的动点，且满足|$\overrightarrow{MN}$||$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设过点N的直线l的斜率为k，且与曲线C相交于点S、T，若S、T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，求Q点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设点P（x，y），根据题意有 4$\sqrt{{（x+2）}^{2}{+y}^{2}}$+4（x-2）=0，整理得点P的轨迹C的方程．
（2）设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），把ST的方程与y²=-8x联立消元，利用韦达定理以及判别式大于零，求得-1＜k＜0．求得线段ST中点B的坐标为（-$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，-$\frac{4}{k}$），可得线段ST的垂直平分线方程为y+$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4}{{k}^{2}}$-2）．令y=0得点Q横坐标为x_Q=-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$＜-6，即为Q点横坐标的取值范围．

解答 解：（1）设点P（x，y），根据题意则有：
$\overrightarrow{MN}$=（4，0），|$\overrightarrow{MN}$|=4，|$\overrightarrow{MP}$|=$\sqrt{{（x+2）}^{2}{+y}^{2}}$，$\overrightarrow{NP}$=（x-2，y），
代入|$\overrightarrow{MN}$||$\overrightarrow{MP}$|+$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{NP}$=0，得：4$\sqrt{{（x+2）}^{2}{+y}^{2}}$+4（x-2）=0．
整理得点P的轨迹C的方程：y²=-8x．
（2）设S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由题意得：ST的方程为y=k（x-2）（显然k≠0），
与y²=-8x联立消元得：ky²+8y+16k=0，则有：y₁+y₂=-$\frac{8}{k}$，y₁•y₂=16．
因为直线交轨迹C于两点，△=b²-4ac=64-64k²＞0，
再由y₁＞0，y₂＞0，则-$\frac{8}{k}$＞0，故-1＜k＜0．
可求得线段ST中点B的坐标为（-$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，-$\frac{4}{k}$），
所以线段ST的垂直平分线方程为
y+$\frac{4}{k}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{4}{{k}^{2}}$-2）．令y=0得点Q横坐标为x_Q=-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$，
x_Q=-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$＜-6．，所以Q点横坐标的取值范围为（-∞，-6）．

点评 本题主要考查轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线相交的性质，韦达定理的应用，属于中档题．