Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2，向量$\overrightarrow{c}$满足（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）≤0，则|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 根据条件可以求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{π}{3}$，从而可设$\overrightarrow{a}=（2，0），\overrightarrow{b}=（1，\sqrt{3}），\overrightarrow{c}=（x，y）$，进行数量积的坐标运算便可得到${x}^{2}-3x+2+{y}^{2}-\sqrt{3}y≤0$，从而得出$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）≤1$．这便说明点（x，y）在以（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）为圆心，1为半径的圆上及圆内的点，画出图形，根据图形便可求出点（x，y）到原点的最小距离，从而得出$|\overrightarrow{c}|$的最小值．

解答 解：根据条件$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$，∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{3}$；
∴设$\overrightarrow{a}=（2，0），\overrightarrow{b}=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}=（x，y）$，则：
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=（2-x，-y），\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=（1-x，\sqrt{3}-y）$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）={x}^{2}-3x+2+{y}^{2}-\sqrt{3}y≤0$；
∴$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}≤1$；
∴（x，y）表示以$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$为圆心1为半径的圆上及圆内部；
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示点（x，y）到原点的距离，如图所示：

连接圆心和原点O，与圆的交点到原点的距离最小；
∴$|\overrightarrow{c}|$的最小值为$\sqrt{3}-1$．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 考查利用向量坐标解决向量问题的方法，向量夹角余弦的坐标公式，向量夹角的概念，以及向量数量积的坐标运算，圆的标准方程，表示圆上及圆内部点的不等式，以及数形结合解题的方法．