Question

6．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐进线与圆x²+y²-6y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x与圆x²+y²-6y+3=0相切?圆心（0，3）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．

解答 解：取双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0．
由圆x²+y²-6y+3=0化为x²+（y-3）²=6．圆心（0，3），半径r=$\sqrt{6}$．
∵渐近线与圆x²+y²-6y+3=0相切，
∴$\frac{3a}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{6}$化为a²=2b²．
∴该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：C．

点评 熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．