题目内容
【题目】已知点是椭圆
上任意一点,点
到直线
:
的距离为
,到点
的距离为
,且
,直线
与椭圆
交于不同两点
、
(
、
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,
.
【解析】
试题分析:(1)设,则
,
,代入
化简得
;(2)先求得
,得到直线
的方程,代入椭圆方程求得
,进而求得直线
的方程;(3)直线
方程
入
,写出根与系数关系,代入
,化简得
所以直线
方程为
,直线
总经过定点
.
试题解析:
(1)设,则
,
,
∴,化简,得
,∴椭圆
的方程为
.
(2),
∴
,
又∵,∴
,
.
代入解,得
(舍)
∴
,
,∴
.即直线
的方程为
.
(3)解法一:∵,∴
.
设,
,直线
方程为
.代直线
方程
入
,得
.
∴,
,
∴
∴
∴,
∴直线方程为
,
直线总经过定点
.
解法二:由于,所以
关于
轴的对称点
在直线
上.
设,
,
,直线
方程为
.代入
,得
.
∴,
,
∴,
,令
,得
.
又∵,
,
∴.
∴直线总经过定点
.
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