题目内容

【题目】已知点是椭圆上任意一点,点到直线:的距离为,到点的距离为,且,直线与椭圆交于不同两点都在轴上方),且.

(1)求椭圆的方程;

(2)当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程;

(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2);(3)存在,.

【解析】

试题分析:(1),则,代入化简得(2)先求得,得到直线的方程,代入椭圆方程求得,进而求得直线的方程3直线方程,写出根与系数关系,代入,化简得所以直线方程为,直线总经过定点.

试题解析:

(1)设,则

,化简,得,∴椭圆的方程为.

(2)

又∵,∴.

代入解,得(舍),

,∴.即直线的方程为.

(3)解法一:∵,∴.

,直线方程为.代直线方程,得.

∴直线方程为

直线总经过定点.

解法二:由于,所以关于轴的对称点在直线.

,直线方程为.代入,得

.

,令,得.

又∵

.

∴直线总经过定点.

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