Question

14．过点（$\sqrt{2}$，0）引直线l与曲线y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 通过曲线方程确定曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点），直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，从而确定直线斜率-1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面积，利用二次函数求最值，确定直线斜率k的值．

解答 解：由y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$得x²+y²=1（y≥0）
∴曲线y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）
由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，
若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则-1＜k＜0
∴直线l的方程为：y-0=k（x-$\sqrt{2}$），即kx-y-$\sqrt{2}$k=0
则圆心O到直线l的距离d=$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=2$\sqrt{1-（\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}×$2$\sqrt{\frac{1-{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$×$\frac{-\sqrt{2}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
令$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=t，则S=$\sqrt{-4{t}^{2}+6t-2}$
当t=$\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$时，S_△AOB有最大值为$\frac{1}{2}$
此时，∵-1＜k＜0，∴k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，利用数形结合，二次函数求最值等思想进行解答．