Question

5．给出下列命题：
①函数f（x）=2^x-log₂x的零点有2个；
②函数y=f（1-x）与函数y=f（1+x）的图象关于直线x=1对称；
③$\sqrt{x-1}$（x-2）≥0的解集为[2，+∞）；
④“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件；
⑤函数y=x³在原点O（0，0）处的切线是x轴．
其中真命题的序号是④⑤（写出所有正确的命题的编号）．

Answer 1

分析 判断函数f（x）=2^x-log₂x的零点个数，可判断①；分析函数图象的对称变换，可判断②；求出$\sqrt{x-1}$（x-2）≥0的解集，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④；求出函数y=x³在原点O（0，0）处的切线，可判断⑤．

解答 解：函数y=2^x与函数y=log₂x的图象无交点，
故函数f（x）=2^x-log₂x的零点有0个，故①错误；
函数y=f（1-x）与函数y=f（1+x）的图象关于y轴对称，故②错误；
$\sqrt{x-1}$（x-2）≥0的解集为{1}∪[2，+∞），故③；
“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，故④正确；
函数y=x³，则y′=3x²，则y′|_x=0=0，
则函数在原点O（0，0）处的切线为y=0，即x轴，故⑤正确．
故真命题的序号是：④⑤，
故答案为：④⑤

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的零点，函数的对称变换，不等式的解集，充要条件，在某点的切线方程等知识点，难度中档．