题目内容

14.记数列{an}的前n项和为Sn,满足an+Sn=An2+Bn+C(n∈N*),其中A、B、C为常数.
(1)已知A=B=0,a1≠0,求证:数列{an}是等比数列;
(2)已知数列{an}是等差数列,求证:3A+C=B;
(3)已知a1=1,B>0且B≠1,B+C=2,若$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$<λ对n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.

分析 (1)由an+Sn=C(n∈N*)得:an+1+Sn+1=C,两式相减后根据等比数列的定义,可证明数列{an}是等比数列;
(2)由题意设公差为d,根据等差数列的通项公式和前n项和公式,求出an、Sn并代入已知的式子化简,利用对应系数相等证明等式成立;
(3)把n=1代入递推公式,结合a1=1和B+C=2求A,代入an+Sn=An2+Bn+C化简,由数列的通项公式和前n项和公式关系化简,利用构造法和等比数列的定义求出an,再代入$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$分离常数,对B进行分类讨论,分别利用指数函数的单调性和B的范围求出λ的范围.

解答 证明:(1)由A=B=0得,an+Sn=C(n∈N*),①
∴an+1+Sn+1=C. ②…2分
②-①式得:2an+1=an
又a1≠0,所以数列{an}是以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列;
(2)由题意知:数列{an}是等差数列,设公差为d,
∴an=a1+(n-1)d,${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$,
∵an+Sn=An2+Bn+C(n∈N*),
∴a1+(n-1)d+$n{a}_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$=An2+Bn+C,
化简得:$\frac{d}{2}$n2+$({a}_{1}+\frac{1}{2}d)n$+a1-d=An2+Bn+C,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{d}{2}=A}\\{{a}_{1}+\frac{1}{2}d=B}\\{{a}_{1}-d=C}\end{array}\right.$,∴3A+C=$\frac{3d}{2}+{a}_{1}-d$=${a}_{1}+\frac{1}{2}d$=B,
即3A+C=B;
解:(3)∵a1=1,B+C=2,an+Sn=An2+Bn+C(n∈N*),
∴当n=1时,2a1=A+B+C,则2=A+B+C,有A=0,
∴an+Sn=Bn+(2-B),则an+1+Sn+1=B(n+1)+(2-B),
两式相减得:2an+1-an=B,即an+1=$\frac{1}{2}$(an+B),
∴an+1-B=$\frac{1}{2}$(an-B),
又a1=1,B≠1,则a1-B≠0,则数列{an-B}是以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列,
∴an-B=(a1-B)•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-B}{{2}^{n-1}}$,则an=$\frac{1-B}{{2}^{n-1}}$+B,
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{\frac{1-B}{{2}^{n-1}}+B}{\frac{1-B}{{2}^{n}}+B}$=$\frac{2(1-B)+B•{2}^{n}}{1-B+B•{2}^{n}}$=1+$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$,
又B>0且B≠1,有以下两种情况:
①当0<B<1时,1-B>0,则y=$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$随着n的增大而减小,
则$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$≤$\frac{1-B}{1+B}$,即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}≤1+\frac{1-B}{1+B}$=$\frac{2}{1+B}$,
∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}<λ$对n∈N*恒成立,∴$λ>\frac{2}{1+B}$;
②当B>1时,1-B<0,则y=$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$随着n的增大而增大,
∴$\frac{1-B}{1+B}≤$$\frac{1-B}{1-B+B•{2}^{n}}$<0,则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}<1+$0=1,
∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}<λ$对n∈N*恒成立,∴λ≥1,
综上所述,当0<B<1时,$λ>\frac{2}{1+B}$;当B>1时,λ≥1.

点评 本题是数列综合题,考查等比数列的定义、通项公式,等差数列的通项公式、前n项和公式等,数列的函数特征,以及构造法、分离常数法,分类讨论思想,考查由所给的递推关系证明数列的性质,难度较大,综合性很强,对答题者探究的意识与探究规律的能力要求较高,是一道能力型题.

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