Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过x轴上一点（m，0）作⊙O：x²+y²=1的切线l，交椭圆C于M、N两点，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件结合隐含条件得到关于a，b的方程组，求出a，b后即可求椭圆C的方程；
（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|MN|通过基本不等式求解弦长的最大值．

解答 解：（1）由题得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
又椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4{b}^{2}}=1$，解得a²=4，b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意知，|m|≥1．
当m=1时，切线l的方程x=1，点M、N的坐标分别为（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
此时|MN|=$\sqrt{3}$； 
当m=-1时，同理可得|MN|=$\sqrt{3}$；
当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），（k≠0）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0．
设M、N两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则△=64k⁴m²-16（1+4k²）（4k²m²-4）=48k²＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
又由l与圆x²+y²=1相切，得
$\frac{|km|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，即m²k²=k²+1．得${k}^{2}=\frac{1}{{m}^{2}-1}$．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（\frac{8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$．
∵|m|≥1，∴|MN|=$\frac{4\sqrt{3}|m|}{{m}^{2}+3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{|m|+\frac{3}{|m|}}$≤2，
且当m=±$\sqrt{3}$时，|MN|=2，
由于当m=±1时，|MN|=$\sqrt{3}$，
∴|MN|的最大值为2．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用，是压轴题．