题目内容

10.已知变量x,y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$则Z=$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围是$[\frac{1}{4},\frac{3}{2}]$.

分析 由约束条件作出可行域,利用z=$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义结合两点连线的斜率得答案.

解答 解:由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4≥0\\ x≤2\\ x+y-2≥0\end{array}\right.$作出可行域如图,
联立$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ x+y-2=0\end{array}\right.$,解得:B(0,2),
联立$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ x+y-2=0\end{array}\right.$,解得A(2,0),
z=$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义是可行域内的动点与定点P(-2,-1)连线的斜率,
∵kPA=$\frac{0+1}{2+2}$=$\frac{1}{4}$,kPB=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$.
∴z=$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围是:[$\frac{1}{4},\frac{3}{2}$].
故答案为:$[\frac{1}{4},\frac{3}{2}]$.

点评 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,是中档题.

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