Question

10．关于函数的性质，有如下命题：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②已知f（x）是定义域内的增函数，且f（x）≠0，则$\frac{1}{f（x）}$是减函数；
③若f（x）是定义域为R的奇函数，则函数f（x-2）的图象关于点（2，0）对称；
④已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$的x的取值范围是$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$．
其中正确的命题序号有①③④．

Answer 1

分析 ①由于g（-x）=g（x），即可判断出奇偶性；
②不正确，例如f（x）=x在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上不具有单调性；
③由于f（x）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，因此f（2-2）=0，可得函数f（x-2）的图象关于点（2，0）对称，即可判断出真假；
④由偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$，可得0≤|2x-1|＜$\frac{1}{3}$，解出即可判断出真假．

解答 解：①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）满足g（-x）=g（x），因此一定是偶函数，正确；
②已知f（x）是定义域内的增函数，且f（x）≠0，则$\frac{1}{f（x）}$是减函数，不正确，例如f（x）=x在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上不具有单调性；
③若f（x）是定义域为R的奇函数，f（0）=0，∴f（2-2）=0，则函数f（x-2）的图象关于点（2，0）对称，正确；
④已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，由$f（2x-1）＜f（\frac{1}{3}）$，可得0≤|2x-1|＜$\frac{1}{3}$，解得$\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}$，因此x的取值范围是$（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）$，正确．
其中正确的命题序号有①③④．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．