题目内容
【题目】已知双曲线 
=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为﹣ 
，求双曲线的离心率．
【答案】
（1）解：∵双曲线 
的渐近线方程为y= 
∴若双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得 
=1，解之得a=b
∵c= 
=2，∴a=b= 
由此可得双曲线方程为 
（2）解：设A的坐标为（m，n），可得直线AO的斜率满足k= 
= 
，即m= 
n…①
∵以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2
∴将①代入圆方程，得3n2+n2=c2，解得n= 
c，m= 
c
将点A（ c， c）代入双曲线方程，得 
化简得： 
c2b2﹣ 
c2a2=a2b2，
∵c2=a2+b2
∴b2=c2﹣a2代入上式，化简整理得 c4﹣2c2a2+a4=0
两边都除以a4，整理得3e4﹣8e2+4=0，解之得e2= 
或e2=2
∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e= （舍负）
【解析】（1）根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，可得 =1，解得a=b，结合c= =2算出a=b= ，可得该双曲线方程；（2）设A（m，n），根据切线垂直于过切点的半径算出m= n．而以点O为圆心，c为半径的圆方程为x2+y2=c2 ， 将A的坐标代入圆方程，算出点A（ c， c），将此代入双曲线方程，并结合c2=a2+b2化简整理得 c4﹣2c2a2+a4=0，再根据离心率公式整理得3e4﹣8e2+4=0，解之即可得到该双曲线的离心率．
阅读快车系列答案【题目】某青年教师有一专项课题是进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的研究，他调查了某中学高二年级800名学生上学期期末考试的数学和物理成绩，把成绩按优秀和不优秀分类得到的结果是：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有60人． 附：
P（K2≥k0） | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= 
．
（1）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该中学学生的数学成绩与物理成绩有关？
（2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取4名学生的成绩，记抽取的4份成绩中数学、物理两科成绩恰有一科优秀的份数为X，求X的分布列和期望E（X）．
【题目】某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：
A | B | C | D | E | |
身高 | 1.69 | 1.73 | 1.75 | 1.79 | 1.82 |
体重指标 | 19.2 | 25.1 | 18.5 | 23.3 | 20.9 |
（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率
（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．
