Question

15．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，AB=2$\sqrt{3}$，AA₁=2，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥A₁ABB₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出AA₁⊥CD，AB⊥CD，由此能证明CD⊥A₁ABB₁．
（Ⅱ）连结CB₁，BC₁，交于点O，连结OD，由三角形中位线定理得OD∥AC₁，由此能证明AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）取A₁B₁中点F，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2，点D是AB的中点，
∴AA₁⊥CD，AB⊥CD，
∵AA₁∩AB=A，∴CD⊥A₁ABB₁．
（Ⅱ）证明：连结CB₁，BC₁，交于点O，连结OD，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BCC₁B₁是矩形，∴O是BC₁的中点，
∵点D是AB的中点，∴OD∥AC₁，
∵AC₁?平面平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（Ⅲ）解：取A₁B₁中点F，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DF为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=2$\sqrt{3}$，AA₁=2，∴A（-$\sqrt{3}$，0，0），C₁（0，1，2），
B₁（$\sqrt{3}$，0，2），C（0，1，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-$\sqrt{3}$，1，-2），
设异面直线AC₁与B₁C所成角为θ，
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$|=|$\frac{-3+1-4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$|=$\frac{3}{4}$．
∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．