题目内容

20.已知函数f(x)=$\sqrt{3}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)+cos(2x+$\frac{π}{3}$).
(Ⅰ)求f($\frac{π}{6}$)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.

分析 (I)利用和差角(辅助角)公式,将函数化为正弦型函数的形式,再由诱导公式可得f(x)=2cos2x,将x=$\frac{π}{6}$代入可得答案;
(Ⅱ)由 (I)得:f(x)=2cos2x,结合余弦函数的图象和性质,可得函数的最小正周期和单调递增区间.

解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=$\sqrt{3}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)+cos(2x+$\frac{π}{3}$)=2sin[(2x+$\frac{π}{3}$)+$\frac{π}{6}$]=2sin(2x+$\frac{π}{2}$)=2cos2x.
∴f($\frac{π}{6}$)=2cos(2×$\frac{π}{6}$)=2cos$\frac{π}{3}$=1;
(Ⅱ)由 (I)得:f(x)=2cos2x,
∵ω=2,
∴周期T=π,
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得:kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ,k∈Z
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{2}$,kπ],k∈Z

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用,三角函数求值,余弦型函数的图象和性质,难度中档.

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