题目内容
20.已知函数f(x)=$\sqrt{3}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)+cos(2x+$\frac{π}{3}$).(Ⅰ)求f($\frac{π}{6}$)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间.
分析 (I)利用和差角(辅助角)公式,将函数化为正弦型函数的形式,再由诱导公式可得f(x)=2cos2x,将x=$\frac{π}{6}$代入可得答案;
(Ⅱ)由 (I)得:f(x)=2cos2x,结合余弦函数的图象和性质,可得函数的最小正周期和单调递增区间.
解答 解:(Ⅰ)∵f(x)=$\sqrt{3}$sin(2x+$\frac{π}{3}$)+cos(2x+$\frac{π}{3}$)=2sin[(2x+$\frac{π}{3}$)+$\frac{π}{6}$]=2sin(2x+$\frac{π}{2}$)=2cos2x.
∴f($\frac{π}{6}$)=2cos(2×$\frac{π}{6}$)=2cos$\frac{π}{3}$=1;
(Ⅱ)由 (I)得:f(x)=2cos2x,
∵ω=2,
∴周期T=π,
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得:kπ-$\frac{π}{2}$≤x≤kπ,k∈Z
∴f(x)的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{2}$,kπ],k∈Z
点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用,三角函数求值,余弦型函数的图象和性质,难度中档.
练习册系列答案
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7.若f(x)=x+$\frac{1}{x}$,则下列式子中正确的是( )
A. | f(-1)=0 | B. | f(0)=0 | C. | f(-x)=f(x) | D. | f($\frac{1}{x}$)=f(x) |
15.函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+x-1(x>2)\\ ax-1(x≤2)\end{array}$是R上的单调递减函数,则实数a的取值范围是( )
A. | -$\frac{1}{4}$≤a<0 | B. | a≤-$\frac{1}{4}$ | C. | -1≤a≤-$\frac{1}{4}$ | D. | a≤-1 |