题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，短轴长为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点
的直线
与椭圆交于
、
两点，
是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得
？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在直线
：
或
合题意.
【解析】
（1）由短轴长为
求出b，再由离心率为
及
解得：
，
，从而得解。
（2）由
可得：
为线段
的中点，设直线方程：
，联立直线方程与椭圆方程，表示出
，
，再利用中点坐标公式列方程即可求解。
解：（1）∵
，
，且有，
解得，，
∴椭圆
的方程为.
（2）由题可知的斜率一定存在，设为，设
，
，
联立
∴
∵
，∴为线段的中点，
∴
……④
将④代入②解得
……⑤
将④代入③得
……⑥
将⑤代入⑥解得
……⑦
将⑦式代入①式检验成立，
∴
，即存在直线：
或
合题意.
【题目】某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户.为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）.
（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？
（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为（0，0.5]，（0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3].如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；
（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？
超过2万元 | 不超过2万元 | 总计 | |
平原地区 | |||
山区 | 5 | ||
总计 |
附：
P（K2≥k0） | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
