Question

【题目】已知函数

（1）讨论的极值点的个数；

（2）若有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且求的最小值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求导数得，当通过讨论判别式与0的关系，得函数单调性，由单调性即可得函数的极值问题；（2）有两个极值点可知为方程的两个根，用表示出为，令，构造函数求导判单调性即可得到最值.

（1）法一：由题意得，

令，即。.

①当，即时，对任意恒成立，即对任意恒成立，此时没有极值点。

②当，即或时。

若，设方程的两个不同实根为，不妨设，

则，

故，

当或时，；

当时，，

故是函数的两个极值点。

若，设方程的两个不同实根为，

则，故。

当时，，故函数没有极值点。

当时，函数没有极值点。

法二：，

。.

①当，即时，对任意恒成立，在上单调递增，没有极值点。.

②当，即时，有两个不等正实数解，设为，

。

不妨设，则当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以分别为的极大值点和极小值点。

故有两个极值点。.

综上所述，当时，没有极值点，

当时，有两个极值点。

（2）由题意知，，

则易知为方程的两个根，且，

所以

记，由且知，

则，

记，

则，

故在上单调递减。

由知，

从而，即，

故，结合，解得，

从而的最小值为，

即的最小值为。