题目内容
【题目】如图,在正方体中,点
是底面
的中心,
是线段
的上一点。
(1)若为
的中点,求直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)能否存在点使得平面
平面
,若能,请指出点
的位置关系,并加以证明;若不能,请说明理由。
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
(1)建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量,再由向量的夹角公式得到结果;(2)建立坐标系得到两个面的法向量,再由法向量互相垂直得到结果.
不妨设正方体的棱长为2,以,
,
分别为
,
,
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
.
(1)因为点是
的中点,
所以点的坐标为
.
所以,
,
.
设是平面
的法向量,则
,
即.
取,则
,所以平面
的一个法向量为
.
所以
.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
(2)假设存在点使得平面
平面
,设
.
显然,
.
设是平面
的法向量,则
,即
,
取,则
,
,所以平面
的一个法向量为
.
因为,所以点
的坐标为
.
所以,
.
设是平面
的法向量,则
,即
.
取,则
,所以平面
的一个法向量为
.
因为平面平面
,所以
,即
,
,解得
.
所以的值为2.即当
时,平面
平面
.
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