题目内容
【题目】已知一列非零向量
满足：
，
.
（1）写出数列
的通项公式；
（2）求出向量与
的夹角
，并将
中所有与
平行的向量取出来，按原来的顺序排成一列，组成新的数列
，
，
为坐标原点，求点列
的坐标；
（3）令
（
），求
的极限点位置.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
（1）得出
，运用等比数列的定义判断，即可求出通项公式.
（2）利用向量的数量积得出
从而有：
，即可求得
与
的夹角；
先利用数学归纳法易证
成立从而得出：
．结合等比数列的求得公式及数列的极限即可求得点列
的坐标；
（3）将
分组，利用等比数列前
项和公式求出
的坐标，再求极限即可求出
的极限点坐标.
解：（1）
，
数列
是以
，
的等比数列，
（2）
，
，
，
与的夹角为
，
，
，
一般地，
，
用数学归纳法易证
成立
．
设
；
，
所以点列的坐标为
（3）由（2）知与的夹角为，
所以在中，与向量
共线的向量为，
，
，……
共
个，
与向量
共线的向量为，
，
，……
共个，
与向量
共线的向量为，
，
，……
共个，
与向量
共线的向量为，，
，……
共个，
的极限点位置为
.
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