Question

7．已知命题p：?x∈R，2^x＜3^x；命题q：?x∈R，使得log_0.5x=x，则下列命题中为真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． ￢p∧q
• C． p∧￢q
• D． ￢p∧￢q

Answer 1

分析 对于命题p：由2^x＜3^x，化为$（\frac{2}{3}）^{x}$＜1，利用指数函数的单调性解出x范围，即可判断出命题p真假；对于命题q：令f（x）=log_0.5x-x，利用函数零点存在判定定理可得?x∈$（\frac{1}{2}，1）$，使得f（x）=0，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出．

解答 解：对于命题p：由2^x＜3^x，化为$（\frac{2}{3}）^{x}$＜1，因此x＞0，故x≤0时不成立，因此p是假命题；
对于命题q：令f（x）=log_0.5x-x，∵$f（\frac{1}{2}）$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$＞0，f（1）=0-1=-1＜0，∴?x∈$（\frac{1}{2}，1）$，使得f（x）=0，
因此命题q是真命题．
∴p∧q，p∧￢q，￢p∧￢q是假命题；
∴￢p∧q是真命题．
故选：B．

点评 本题考查了函数的性质、函数零点的判定定理、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．