题目内容

3．已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线与抛物线交于A，B两点，且直线与x轴交于点C
（1）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（2）设$\overrightarrow{MA}$=α•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=β•$\overrightarrow{BC}$，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

分析 （1）设出直线方程，联立抛物线方程，消去y，运用韦达定理，结合等比数列的中项性质，即可得证；
（2）运用向量共线的坐标表示，结合韦达定理，计算即可得到定值-1．

解答 （1）证明：设直线的方程为：y=kx+2（k≠0），
联立方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k2x2+（4k-4）x+4=0①
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（-$\frac{2}{k}$，0），
则x1+x2=$\frac{4-4k}{{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4}{{k}^{2}}$②
|MA|•|MB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-0|•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x2-0|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
而|MC|2=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|-$\frac{2}{k}$-0|2=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
∴|MC|2=|MA|•|MB|≠0，
即有|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（2）解：由$\overrightarrow{MA}$=α•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{MB}$=β•$\overrightarrow{BC}$，得
（x1，y1-2）=α（-x1-$\frac{2}{k}$，-y1），（x2，y2-2）=β（-x2-$\frac{2}{k}$，-y2），
即得：α=$\frac{-k{x}_{1}}{k{x}_{1}+2}$，β=$\frac{-k{x}_{2}}{k{x}_{2}+2}$，
则α+β=$\frac{-2{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-2k（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+2k（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$
由（1）中②代入得α+β=-1，
故α+β为定值且定值为-1．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查等比数列的性质和向量共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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②记函数g（n）=xn（n∈N*），则函数g（n）的单调性是先减后增，且最小值为1；
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④当n∈N*时，记数列{$\frac{1}{\sqrt{|{y}_{n}|}•{k}_{n}}$}的前n项和为Sn，则Sn＜$\frac{\sqrt{2}（2n-1）}{n}$．
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