Question

15．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3．
（1）求抛物线C的方程：
（2）过点（2，0）的直线l，斜率为1，与抛物线C交于A、B两点，求|AB|长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），由题意和抛物线的定义列出方程求出p的值，即可抛物线C的方程；
（2）由题意混合点斜式方程求出直线l的方程，联立抛物线方程消去y后，利用韦达定理和弦长公式求出|AB|．

解答 解：（1）∵抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，
且抛物线C上的点M（2，m）到焦点F的距离为3，
∴设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），M到准线的距离为3，
则$\frac{p}{2}+2$=3，解得p=2，
∴抛物线C的方程：y²=4x，
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵过点（2，0），斜率为1，∴直线l的方程是y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得，x²-8x+4=0，
∴△＞0，且x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
∴|AB|=$\sqrt{（1+k）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2（64-16）}$=$4\sqrt{6}$．

点评 本题考查抛物线的定义及方程，直线与抛物线的位置关系，以及韦达定理和弦长公式的应用，属于中档题．