Question

2．若x²+y²≤1，求证|x²+2xy-y²|≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设x=rcosθ，y=rsinθ，其中r²≤1，0≤θ＜2π|x²+2xy-y²|=|r²cos2θ+r²sin2θ|=|$\sqrt{2}$r²sin（2θ+$\frac{π}{4}$）|，通过三角函数的有界性证明结论．

解答 证明：可设x=rcosθ，y=rsinθ，其中r²≤1，0≤θ＜2π
∴|x²+2xy-y²|=|r²cos2θ+r²sin2θ|=|$\sqrt{2}$r²sin（2θ+$\frac{π}{4}$）|$≤\sqrt{2}$，
∴|x²+2xy-y²|≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查不等式的证明，三角函数的有界性的应用，三角函数的最值，考查计算与推理能力．