Question

【题目】已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=120°，AB=AC=1，AA1=2，若棱AA1在正视图的投影面α内，且AB与投影面α所成角为θ（30°≤θ≤60°），设正视图的面积为m，侧视图的面积为n，当θ变化时，mn的最大值是（ ）

A.2
B.4
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：AB与投影面α所成角为θ时，平面ABC如下图所示：∴BC= ，∠ACE=60°﹣θ，
∴BD=ABsinθ，DA=ABcosθ，AE=ACcos（60°﹣θ），
ED=DA+AE=cos（60°﹣θ）+cosθ
故正视图的面积为m=ED×AA1=2[cos（60°﹣θ）+cosθ]
侧视图的面积为n=BD×AA1=2sinθ
∴mn=4sinθ[cos（60°﹣θ）+cosθ]
=4sinθ[cos60°cosθ+sinθsin60°）+cosθ]
=sin2θ+2 sin2θ+2sin2θ
=3sin2θ+ ﹣ cos2θ
=2 sin（2θ﹣30°）+
∵30°≤θ≤60°
∴30°≤2θ﹣30°≤90°，
所以：2 ≤mn≤3
故得mn的最大值为3 ．
故选：C．

【考点精析】利用简单空间图形的三视图对题目进行判断即可得到答案，需要熟知画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等．