题目内容
已知函数的导函数是,在处取得极值,且.
(Ⅰ)求的极大值和极小值;
(Ⅱ)记在闭区间上的最大值为,若对任意的总有成立,求的取值范围;
(Ⅲ)设是曲线上的任意一点.当时,求直线OM斜率的最小值,据此判断与的大小关系,并说明理由.
(Ⅰ)极大值为,极小值为;(Ⅱ) ;(Ⅲ)直线斜率的最小值为4,.
解析试题分析:(Ⅰ)根据题意,先求m值,设原函数解析式,由,得原函数解析式,再求导函数,列表求极值;(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数在各个区间上的单调性,对分情况讨论,分和两种情况,分别找出这两种情况下函数的最大值,使得成立,从而求出的取值范围;(Ⅲ)当时,求直线OM斜率表达式,得斜率最小值为4,据此判断,,再利用导数的证明当时,函数大于0 恒成立.
试题解析:解:(I)依题意,,解得, 1分
由已知可设,因为,所以,
则,导函数. 3分
列表:
由上表可知在处取得极大值为,1 (1,3) 3 (3,+∞) + 0 - 0 + ↗ 极大值4 ↘ 极小值0 ↗
在处取得极小值为. 5分
(Ⅱ)①当时,由(I)知
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