题目内容
已知为函数图象上一点,O为坐标原点,记直线的斜率.
(1)若函数在区间上存在极值,求实数m的取值范围;
(2)当 时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:.
(1);(2);(3)详见解析.
解析试题分析:(1)在函数定义域范围内求函数的极值,则极值点在内;(2)首先根据条件分离出变量,由转化成求的最小值(利用二次求导判单调性);(3)结合第(2)问构造出含
的不等关系,利用裂项相消法进行化简求和.
试题解析:(1)由题意, 1分
所以 2分
当时,;当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减,
故在处取得极大值. 3分
因为函数在区间(其中)上存在极值,
所以,得.即实数的取值范围是. 4分
(2)由得,令,
则. 6分
令,则,
因为所以,故在上单调递增. 7分
所以,从而
在上单调递增,
所以实数的取值范围是. 9分
(3)由(2) 知恒成立,
即 11分
令则, 12分
所以, , ,.
将以上个式子相加得:
,
故. 14分
考点:1.函数极值、最值的求法;2.函数单调性的判定;3.恒成立问题的转化.
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