题目内容
设函数(
,
为常数)
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若,证明:当
时,
.
①②见题解析
解析试题分析:(Ⅰ)求函数的导数,分类讨论二次函数的零点情况,确定导函数的正负取值区间,进一步确定原函数的单调性. (Ⅱ)先把原不等式等价转化为,由于我们只能运用求导的方法来研究这个函数的值域,而此函数由于求导后不能继续判断导函数的正负区间,故利用均值不等式进行放缩,
后,函数
可以通过求导研究值域,且
恒成立是
恒成立的充分条件,注意需要二次求导.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为
,
,
(1)当时,
解得
或
;
解得
所以函数在
,
上单调递增,在
上单调递减;
(2)当时,
对
恒成立,所以函数
在
上单调递增;
(3)当时,
解得
或
;
解得
所以函数在
,
上单调递增,在
上单调递减. ……(6分)
(Ⅱ)证明:不等式等价于
因为, 所以
,
因此
令, 则
令得:当
时
,
所以在
上单调递减,从而
. 即
,
在
上单调递减,得:
,
当
时,
.. ……(12分)
考点:1.函数导数的求法;2.导数的应用;3.均值不等式;4.放缩法.

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