题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,探究
零点的个数;
(2)①证明:;
②当时,证明:
.
【答案】(1)见解析;(2)①见证明;②见证明
【解析】
(1)利用导函数对a进行讨论判断即可.
(2)①对所证函数化简,即证明,利用导函数研究其单调性,求解最值问题即可证明;②用(1)的结论,求出零点
,得出单调性,计算最值
,然后用
进行替换,然后用
去掉
,转化为关于
的一次式,代入
即可证明.
(1)解:,定义域为
.
二次函数的判别式为
,对称轴为
.
当时,二次函数
的图像开口向下,判别式为
,
所以在
上有1个零点;
当时,
在
上无零点;
当时,二次函数
的图像开口向上,
①,即
时,
在
上无零点;
②,即
时,
在
上有1个零点
;
③,即
时,
在
上有2个不同的零点;
综上,当时,
在
上无零点;
当时,
在
上有1个零点;
当时,
在
上有2个不同的零点;
(2)①要证明:,只需要证明:
.
令,定义域为
,
,
所以,不难得到
的最大值为
,所以
成立;
②由(1)得,当时,
在
上有1个零点;设零点为
,
则,解得,
,
进一步,当时,
,当
时,
,
所以
(※)
由(2)①得,
(※)
.
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练习册系列答案
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【题目】某校的1000名高三学生参加四门学科的选拔考试,每门试卷共有10道题,每题10分,规定:每门错题成绩记为
,错
题成绩记为
,错
题成绩记为
,错
题成绩记为
,在录取时,
记为90分,
记为80分,
记为60分,
记为50分.
根据模拟成绩,每一门都有如下统计表:
答错 题数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数 | 10 | 90 | 100 | 150 | 150 | 200 | 100 | 100 | 50 | 49 | 1 |
已知选拔性考试成绩与模拟成绩基本吻合.
(1)设为高三学生一门学科的得分,求
的分布列和数学期望;
(2)预测考生4门总分为320概率.