题目内容
【题目】已知椭圆长轴的两顶点为
、
,左、右焦点分别为
、
,焦距为
,且
,过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的弦长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)在双曲线上取点
异于顶点,直线
与椭圆
交于点
,若直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
,试证明:
为定值;
(3)在椭圆外的抛物线
上取一点
,若
、
的斜率分别为
、
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)由,可得出
,由题意得出点
在椭圆上,将此点的坐标代入椭圆
的方程,求出
的值,即可得出椭圆
的标准方程;
(2)设点、
,根据直线的斜率公式,求得
,
,由
与
共线,得出
,即可求出
;
(3)设点,求得
(
且
),
(
且
),可得出
(
且
),然后利用函数的单调性可得出
的取值范围.
(1),
,所以,椭圆
的方程为
,
由于且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的弦长为
,则点
在椭圆
上,
所以, ,解得
,
,
,
因此,椭圆的标准方程为
;
(2)设点、
,由(1)可知
、
、
、
,
则,得
,
,
,得
,
.
又,
,可得
,
因此,(定值);
(3)设点,由
,解得
,
由点在椭圆
外的抛物线
上一点,则
,
直线的斜率为
(
且
),
直线的斜率为
(
且
),
则(
且
),
则(
且
),
令,则
且
,设函数
(
且
),
则函数在区间
和
上均为增函数,
当时,
,即
;
当时,
.
因此,的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.程度2019年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到下边频率分布直方图,且规定计分规则如下表:
每分钟跳绳个数 | ||||
得分 | 17 | 18 | 19 | 20 |
(Ⅰ)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率;;
(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布
,用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差
(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,现利用所得正态分布模型:
预计全年级恰有2000名学生,正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)
若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ,求随机变量的分布列和期望.
附:若随机变量服从正态分布
,则
,
,
.