Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，为等边三角形，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）取PA的中点N，连结MN，DN，推导出MN∥AB，从而DN⊥MN，AB⊥DN，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD．

（2）连结BD，CM，由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，推导出CM⊥PB，S△PCB，1，设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD，推导出PO⊥平面ABCD，设点D到平面PBC的距离为d，由VP﹣BCD＝VD﹣PCB，求出d．由此能求出直线DM与平面PBC所成角的正弦值．

（1）取PA的中点N，连结MN，DN，

∵M，N分别是PB，PA的中点，

∴MN∥AB，且MNAB＝1，

∵DN，DM＝2，∴DN2+MN2＝DM2，

∴DN⊥MN，∴AB⊥DN，

∵AB⊥AD，AD∩DN＝D，∴AB⊥平面PAD.

（2）如图，连结BD，CM，

由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，

在Rt△PAB中，PB＝2，同理PC，

在梯形ABCD中，BC，BD＝2，

∵PC＝BC，M为PB的中点，∴CM⊥PB，

由题意得S△PCB，

1，

设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，PO平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD，

设点D到平面PBC的距离为d，

∵VP﹣BCD＝VD﹣PCB，∴，

解得d．

∵DM＝2，∴直线DM与平面PBC所成角的正弦值sinθ．