题目内容

13.为研究某市高中教育投资情况,现将该市某高中学校的连续5年的教育投资数据进行统计,已知年编号x与对应教育投资y(单位:百万元)的抽样数据如下表:
单位编号x12345
投资额y3.33.63.94.44.8
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析5年来的该高中教育投资变化情况,预测该高中下一年的教育投资约为多少?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(参考公式:回归直线方程式$\hat y=\hat bx+\hat a$,其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{({x_i}-\bar x)({y_i}-\bar y})}}{{\sum_{i=1}^n{{{({x_i}-\bar x)}^2}}}},\hat a=\bar y-\hat b\bar x$)

分析 (1)首先求出x,y的平均数,得到样本中心点,利用最小二乘法做出线性回归方程的系数,即可写出线性回归方程.
(2)当自变量取6时,把6代入线性回归方程,求出销售额的预报值,这是一个估计数字.

解答 解:(1)由所给数据计算得$\overline x=\frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3$,$\overline y=\frac{1}{5}(3.3+3.6+3.9+4.4+4.8)=4$$\sum_{i=1}^5{{{({x_i}-\overline x)}^2}}=10$,$\sum_{i=1}^5{({x_i}-\overline x)({y_i}-\overline y)}=5.4$,
∴$\hat b=\frac{3.8}{10}=0.38$,∴$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=4-0.38×3=2.86$
∴所求回归方程为$\hat y=0.38x+2.86$….(8分)
(2)由(1)知:下年的教育投资约为0.38×6+2.86=5.14(百万元)….(12分)

点评 本题考查回归分析的初步应用,考查求线性回归方程,考查预报y的值,本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数,这是解答正确的主要环节,本题是一个中档题目.

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